בנם של זהבה ואברהם. נולד ביום י"ט בכסלו תשס"ד (14.12.2003) בשוהם. בן הזקונים במשפחה, אח לאלעד, אלון, אסף, ליאור ורן.

עודד מנחם, תינוק מתוק וחייכן עם עיניים ירוקות ויפות, עבר עם משפחתו משוהם ליישוב יקיר שבשומרון בהיותו בן שנתיים וחצי, ושם גדל והתחנך. למד בבית הספר היסודי "יקיר" ולאחר מכן עבר לישיבת "קרני שומרון" ובחר במגמת תיאטרון. אף שלעיתים לימודים לא היו בראש מעייניו, בכל פעם שרצה להצליח בתחום מסוים, השקיע בנחישות, התמסר והגיע להישגים מרשימים, והמורים אהבו אותו.

מאז שלמד ללכת שיחק כדורגל עם אחיו ועם שכניו, ובלט בכך שבעט בטבעיות ברגל שמאל. במהלך ילדותו שיחק כתחביב עם חברים ומשפחה והפגין יכולות גבוהות. אף על פי כן נהג בענווה כלפי מי ששיחק עימו: "גם אם הוא היה קורע אותך, מסובב אותך, משחיל לך, שם לך גול מחצי מגרש – הוא היה מחייך לך בפנים, אבל לא בחוצפה אלא במאור פנים, והיית שמח בשבילו למרות שזה נגדך", סיפר אחד השכנים.

בגיל ארבע-עשרה הצטרף לקבוצת הנערים של מועדון "עירוני אריאל" לכדורגל דשא וכדורגל אולמות. כעבור שנתיים, הודות לכישרון שהפגין, עבר לקבוצת הבוגרים. בענף כדורגל אולמות זכה עם הקבוצה בגביעים ובאליפויות, הוביל אותה לגמר, ובעזרתו היא התקדמה מליגה שנייה לליגה עליונה. את אחת העונות סיים בתואר "מלך השערים". באימונים ובמשחקים היה מלא חיוּת, מוטיבציה ונכונות לעזור לעמיתיו לקבוצה.

גם בענף הטניס שבו עסק הצטיין וזכה בגביעים, ובכלל נהנה משלל פעילויות ספורטיביות, למשל כדורסל. אהד את קבוצת "מכבי חיפה" בכדורגל והיה מנוי למשחקים, שבהם צפה באצטדיון עם אֶחיו אסף ורן. "הכדור היה חלק בלתי נפרד מחייו", כדברי בני משפחתו.

בנעוריו הצטרף לתנועת הנוער "בני עקיבא", ובכיתה י"א הדריך קבוצה בשכבה הצעירה. עם חניכיו יצר קשר קרוב ואישי ונתן את כל כולו. כשהם נעדרו בשל מחלה, דאג לפנק אותם, בתקופת מגפת הקורונה התעקש לפגוש אותם חרף המגבלות, ובשובם מפעולה וידא את הגעתם הביתה בשלום. במחנות התנועה עמד בקשר עם הוריהם.

עודד שמר על קשר קרוב עם הוריו ועם אֶחיו. "תמיד נמצא שם כשצריך אותו", תיאר האח אלעד. רצה שלכל אוהביו יהיה טוב, והם כינו אותו "ילד של אהבה". אחייניו זכו להכירו כדוד נפלא שמקדיש להם תשומת לב וזמן. גם את כלבו טדי ראה כחלק מהמשפחה ואהב מאוד.

בתום כיתה י"ב התכוון לצאת למכינה קדם-צבאית בעכו, אך חזר בו והעדיף להתגייס ולשלב את השירות הצבאי עם היותו ספורטאי מצטיין. בד בבד זומן למיונים בקבוצת הכדורגל "מכבי פתח תקווה".

עודד משך תשומת לב, הצחיק את כולם ובכל סביבה היה במרכז הפעילות והעניין, כך בחיק משפחתו וכך גם עם חבריו. בטוב לב, בחיוך כובש ובמאור פנים העניק לכולם את ההרגשה שהוא חבר קרוב שעומד לצידם. אוהב אדם ואהוב על הבריות, בני שיחו נהנו מהאופטימיות ומהנועם שהקרין. כיבד את השונה, נטה להבחין במי שפחות מעורים בחברה ודאג לצרף אותם ולתת להם תחושת שייכות, וכן היטיב ליצור גיבוש בקרב האנשים שסביבו. "חבר אחד כמוך, ואתה מרגיש עולם שלם שמחייך אליך", כתב חברו. מלח הארץ, מלא נתינה וברוך כישרונות, התנדב למען הזולת כדרך חיים – מיוזמתו ובלי שנזקק להכרה בכך מהסביבה. מתוך צניעותו הרבה חש מבוכה כשזכה לפרגון.

ביום 28.8.2022 התגייס לצה"ל והחל טירונות כלל-צה"לית במעמד ספורטאי מצטיין. אף שהספיק לשרת תקופה קצרה מאוד, גרם לחיילים סביבו להרגיש שהכירו חבר לחיים.

ביום שישי 2.9.2022 יצא במפתיע ובשמחה לחופשת סוף שבוע ראשונה בשירות. במוצאי שבת, בעת שנסע עם שני חבריו לבילוי, פגעה ברכבם בעוצמה בצומת גיתי שבשומרון כבאית. שלושת הצעירים חולצו בקושי רב מהרכב ופונו לבית חולים "בילינסון" בפתח תקווה במצב קשה עם פגיעות רב-מערכתיות. מותו של עודד נקבע זמן קצר לאחר מכן בבית החולים. חברו נריה בן יהודה מת מפצעיו כשבעה חודשים לאחר מכן.

טוראי עודד מנחם הגר נפל בעת שירותו ביום ח' באלול תשפ"ב (4.9.2022). בן שמונה-עשרה בנופלו. הובא למנוחות בחלקה הצבאית בבית העלמין ביקיר. הותיר הורים, ארבעה אחים ואחות.

לאחר נפילתו הועלה לדרגת רב-טוראי.

כתב אלעד אחיו: "היית ילד מצחיק, אהוב על המשפחה והחברים, ואני מודה לאלוהים שלפחות היה לנו אותך לשמונה-עשרה שנה. תשמור עלינו מלמעלה, במיוחד על אבא ואימא, ובסוף עוד ניפגש".

כתב רן אחיו: "עודד, אח שלי, מי עוד יהיה איתי ככה? אתה היית כמו התאום שלי. אהבתי אותך כל כך, לא יודע איך אשרוד בלי הכדורגל איתך, הצחוקים. תמיד היית שמח. אח שלי, אני אוהב אותך".

כתבה גיסתו: "הגעגוע חונק, העצב לא מרפה, הזיכרונות חותכים את הלב ... אתה בתוך הלב, החור עצום, פעור. אתה לא כאן, אבל אתה בכל מקום, תראה את כולם. עודדי, תחבק לנו את הלב המפורק. תבוא איכשהו קצת ותחייך, תבוא לשיר אחד, לשיחת וידאו אחת. תבוא קצת לעצור לנו את הדמעות. אנחנו אוהבים אותך כל כך".

חברו כתב: "לימדת אותי כל כך הרבה. לימדת אותי שכל דבר אפשר לעשות עם חיוך. גם אם זה הכי קשה, גם אם זה עוד איזה אתגר שאין כוח אליו – לימדת אותי להמשך ולחייך ... לימדת אותי לתת מעצמי. אני זוכר שהיית מתנדב ביום-יום ... לימדת אותי שקידה, לימדת אותי אמיתיות ופשטות. אני זוכר שבאחת החתונות של אחד מהחבר'ה היו ריקודים מעורבים, ואתה ידעת שאני לא אלך לרקוד מעורב, אז הלכנו לצד והתחלנו לרקוד ... אחרי רגעים ספורים הצטרפו אלינו חברים, וזה היה אמיתי, פשוט ושמח".

כתב חבר מהיישוב: "בכניסה ליקיר / יש עצבות באוויר / המגרש שומם / השער דומם / מרחוק נשמע הד / ואין מי שבא לעודד".

עידו, חניך מתנועת הנוער, כתב: "אני לא מפסיק לחשוב עליך, אני מתפוצץ מגעגועים ... לקחתי את האליפות השנה בזכותך, ואני רוצה להיות איתך, לצחוק איתך, עודד".

שמעון שרון כתב, הלחין וביצע את השיר "איך זה הגיוני?" השיר, מלווה בקטעי וידאו מחייו של עודד, הועלה לאתר "יוטיוב": "כלום לא נתפס / כאילו רק אתמול היית לי / עכשיו אתה לבד // הכול מזכיר אותך / זה רגש לא מוכר / איך אפשר בכלל לישון או לדבר בלשון עבר / כי כולם שמרו עליך ועכשיו תורך / לתת לנו עוד כוח לחמם כְּשֶקַר. // אני עוצם את העיניים / אולי עכשיו אתה תהיה פה / אולי שם בשמיים / שמישהו יסביר לי / איך זה הגיוני? / איך זה הגיוני? / הבית לא אותו הבית. // כל זיכרון עושה קצת טוב בלב / אתה כאן, לא כאן / מתחת לחיוך נמצא כאב / עכשיו. // אל תספרו לי, כי עדיף לא להקשיב / לא ידעתי שמשפט יכול להיות כל כך מכאיב / אתה היית החבר הכי טוב של כולם / לעודד ולנחם ולאהוב כל אדם".

במאי 2023 הקדיש מועדון "עירוני אריאל" את משחק האליפות לזכרם של עודד ושל חברו נריה. המועדון העלה לאתר "יוטיוב" את הסרטון "לזכרו של עודד הגר" עם קטעי וידאו ותמונות ממשחקים.

בוגרי ישיבת "קרני שומרון" יזמו כתיבת ספר תורה לעילוי נשמת כמה מאנשי הישיבה שנפטרו, בהם עודד. בחשוון תשפ"ד (אוקטובר 2023) התקיים אירוע הכנסת ספר התורה.

ביישובו יקיר נבנה מגרש כדורגל על שמו.

במלאת שנה לנפילתו הכינה משפחתו את הסרטון "אזכרה שנה לעודד" עם תמונות רבות מחייו, הסרטון ניתן לצפייה באתר "יוטיוב".